Pour reconstruire parfaitement un signal continu à partir de ses échantillons discrets, la fréquence d'échantillonnage doit être au moins deux fois supérieure à la fréquence maximale du signal.
L'échantillonnage transforme un signal continu en une suite de valeurs discrètes. La reconstruction inverse est parfaite si et seulement si le critère de Nyquist-Shannon est respecté.
Quand fe ≥ 2·fmax, les spectres des copies ne se chevauchent pas. Un filtre passe-bas idéal peut isoler et restituer exactement le signal d'origine, sans perte d'information.
Quand fe < 2·fmax, le spectre se replie sur lui-même. Les hautes fréquences sont confondues avec de fausses basses fréquences : c'est le phénomène d'aliasing. Irréversible.
Le strict minimum théorique (×2) est insuffisant en pratique. Pour les systèmes de contrôle (PID, asservissements), on choisit fe ≥ 10·fsignal, soit Te ≤ τ/10.
La reconstruction parfaite utilise l'interpolation de Whittaker-Shannon : chaque échantillon est pondéré par une fonction sinc. C'est l'analogue discret de la convolution par un filtre passe-bas.
Ajuste la fréquence du signal et la fréquence d'échantillonnage. Tant que fe ≥ 2·fsignal, la courbe reconstruite suit parfaitement l'original.
Dès que fe < 2·fsignal, le signal reconstruit devient une fréquence fantôme complètement différente de l'original. L'information est perdue de façon irréversible.
CALCUL DE LA FRÉQUENCE FANTÔME
f_alias = |f_signal − fe| = |12 − 8| = 4 Hz
Le signal reconstruit oscille à 4 Hz au lieu de 12 Hz.
Le théorème de Shannon gouverne tout système qui numérise un signal analogique.
fe = 44 100 Hz pour couvrir les 20 kHz de l'audition humaine (×2,2).
44.1 kHzTe ≤ τ/10. Moteur drone (τ≈100ms) → Te = 10 ms.
100 Hz24 fps capture des mouvements jusqu'à 12 Hz — roues qui semblent reculer.
24 fpsfe = 500–1000 Hz pour capter les transitoires à 250 Hz du signal cardiaque.
1 kHzFréquence d'impulsion ≥ 2× la vitesse maximale de la cible (Doppler).
GHzBande passante = fe/2. Un oscillo 1 GHz échantillonne à ≥ 2 Géch/s.
GSa/s